Transformada de Fourier

A transformada de Fourier é uma ferramenta muito importante em processamento de imagens. Através da transformada de Fourier é possível decompor um sinal em seus componentes de freqüência (senos e cosenos). Assim, um coeficiente de Fourier reflete a importância de determinada freqüência para o sinal. Dado um sinal contínuo e unidimensional $u(t)$, sua transformada de Fourier é definida por:

$$U(f)=F(u(t))=\int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-i 2 \pi f t}dt,$$ (2)

onde $f$ denota freqüência e $t$ denota tempo. A inversa da transformada de Fourier é definida por:

$$u(t)=F^{-1}(U(f))=\int_{-\infty}^{\infty}U(f) e^{i 2 \pi ft}dt,$$ (3)

A trasformada discreta de Fourier é definida como:

$$U({s \over NT}) = \sum_{n=0}^{N-1}{u(n T) e^{-i{2{\pi \over N} n s}}}, s = 0, 1, \cdots, N-1$$ (4)

Analogamente, obtém-se a transformada discreta inversa de Fourier:

$$u({NT}) = \sum_{n=0}^{N-1}{U({s \over{n T}}) e^{i{2{\pi \over N} n s}}}, s = 0, 1, \cdots, N-1$$ (5)

onde $T$ é o intervalo de amostragem de $u(t)$. Dentre as principais aplicações da transformada de Fourier, encontram-se análise, filtragem, reconstrução e compressão de imagens, bem como reconhecimento de padrões e de objetos. Detalhes a respeito da construção dessa transformada, bem como suas propriedades, a versão bidimensional e suas aplicações podem ser encontrados em [43,44,45].