Semi-pseudo-métrica baseada em Tolerância

Para definir a distância fuzzy baseada em tolerância, inicialmente define-se uma distância local:

$$d_{\bf x}^{\tau}(\nu_{\omega_i},\nu_{\omega_j}) = \inf_{{\bf... ...} \vert\nu_{\omega_i}({\bf y}) - \nu_{\omega_j}({\bf z})\vert,$$ (3.36)

em que $B({\bf x}, \tau)$ denota uma hiperesfera de dimenção $N$, com raio $\tau$ centrada em ${\bf x}$. Essa hiperesfera é chamada ``bola''. O parâmetro $\tau$ é chamado tolerância dessa distância. Assim, define-se a distância fuzzy baseada em tolerância por [Lowen and Peeters, 1998]:

$$d_p^{\tau} (\nu_{\omega_i}, \nu_{\omega_j}) = [ \int_{\calF}... ... x}^{\tau}(\nu_{\omega_i},\nu_{\omega_j})]^p d{\bf x} ]^{1/p},$$ (3.37)

em que $\calF$ representa todo o espaço de características.

Uma medida que não satisfaz a condição 1(b) mensionada na definição de distância (página ) é chamada de pseudo-métrica [Lima, 1970]. Os criadores da medida descrita anteriormente chamam-na de semi-psedo-métrica baseada em tolerância, pois as condições 1(b) e 3, especificadas na definição de métrica podem falhar (ver [Lowen and Peeters, 1997] para maiores detalhes). Essa medida de distância, juntamente com o processo de fuzzificação descrito anteriormente, foram utilizados como uma função critério para efetuar seleção de características. Em nossos experimentos, utilizamos $p=2$.